¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

En diferentes aplicaciones de ingeniería, como la construcción de puentes o maquinaria industrial, es crucial calcular el diámetro del eje de torsión y momento flector para garantizar la resistencia y durabilidad de la estructura. Estos cálculos son fundamentales para evitar fallos catastróficos y optimizar el diseño de las máquinas y estructuras. En este artículo, exploraremos en detalle cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector, proporcionando fórmulas y ejemplos prácticos que te ayudarán a comprender mejor este importante aspecto de la ingeniería.

En el artículo anterior comentamos que podemos calcular el diámetro del eje a partir de un par determinado. Pero ¿qué pasa si el eje está sometido a momento flector y torsión al mismo tiempo? Veamos cómo podemos calcular el diámetro del eje en función del momento de torsión y flexión.


¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Diseño de ondas

Al diseñar ejes, la resistencia, la rigidez y la rigidez son de fundamental importancia. El cálculo del diámetro del eje que se analiza en este artículo se basa en la resistencia del eje.

Generalmente, los ejes se utilizan como ejes de transmisión o como ejes de máquinas.

Ejes de transmisión:

Los ejes de transmisión son aquellos que transmiten potencia entre el conductor y el equipo impulsado. Por tanto, todos estos ejes están sujetos a cargas de torsión.

Ejemplos de ejes de transmisión incluyen ejes secundarios, ejes principales, ejes superiores y todos los ejes de fábrica. Todos estos ejes pueden contener engranajes, poleas o ejes cortos.

Debido a estos elementos, los ejes también experimentan momentos de flexión.

Ejes de máquina son las partes integrales de la máquina como el cigüeñal.


¿Cuál es el volumen seco y húmedo de…

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Hay tres formas en que un eje puede verse sometido a tensión. Esos son

  1. Esfuerzo cortante debido a torsión o torsión.
  2. Esfuerzos de flexión (tensión o compresión) debidos a las fuerzas que actúan sobre elementos de la máquina como engranajes, poleas, etc., así como al peso del propio eje.
  3. Esfuerzos causados ​​por cargas combinadas de torsión y flexión.

El primer caso ya fue comentado en el artículo anterior, pero lo veremos nuevamente.

1. Cálculo del diámetro del eje bajo carga giratoria (ejes de motor)

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?
Fig: Eje bajo torsión (par)

Como sabemos, la ecuación de torsión.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

De la ecuación de torsión escribimos directamente la siguiente expresión para el par

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Esta relación se puede ampliar aún más de la siguiente manera utilizando el momento polar de inercia del segmento circular


¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Usando esta relación podemos calcular el diámetro del eje si el eje está sujeto solo a una carga de torsión pura.

¿Qué pasa si hay que considerar un momento flector?

Veamos cómo calcular el diámetro del eje cuando el eje se somete a flexión.

2. Cálculo del diámetro del eje sólo bajo momento flector (ejes)

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?
Fig: Eje sometido a flexión

Similar a la ecuación de torsión, tenemos una ecuación de flexión,

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Dónde
M = momento flector
I = momento de inercia del eje
σb = tensión de flexión
y = distancia del punto al eje neutro = d/2
E = módulo elástico del material
R = radio de curvatura

A partir de esto podemos considerar la siguiente parte de la ecuación.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Sabemos que hay un momento de inercia alrededor de una onda sólida.



¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Sustituyamos y encontremos la relación del momento flector del eje.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

A partir de esta relación podemos calcular el diámetro del eje sólido (d) dado el esfuerzo de flexión y el momento de flexión permisibles del material del eje.

Si el eje va a ser un eje hueco, podemos derivar la relación de la siguiente manera.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Dónde k = DI / Doh

Si sustituimos estos valores nuevamente en la ecuación principal de flexión, obtenemos la expresión final

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?
¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

A partir de esta expresión podemos calcular el diámetro exterior del eje hueco (Doh), si tenemos el esfuerzo de flexión permisible y el momento de flexión permisible del material del eje.

¿Sabes dónde se utiliza este momento flector únicamente para calcular el diámetro del eje?

Calcular el diámetro del semieje de un vagón de ferrocarril, que sólo tiene el momento flector. Para calcular los diámetros de los semiejes de un vagón de ferrocarril o aplicaciones de ruedas similares, debemos utilizar este método. Resolvamos un problema de ejemplo para comprender cómo calcular el diámetro del semieje.

Tarea de ejemplo para calcular el diámetro del semieje de un vagón de ferrocarril

Un par de ruedas de un vagón de ferrocarril soporta una carga de 50 kN en cada cojinete de eje, que actúa a una distancia de 100 mm fuera de la distancia entre ejes. El ancho de vía de los rieles es de 1,4 m Encuentre el diámetro del eje entre las ruedas si la carga no debe exceder los 100 MPa.

Respuesta:

Dado: W = 50 kN = 50 × 103 NL = 100 mm ; x = 1,4m; σb = 100 MPa = 100 N/mm2

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Una pequeña consideración muestra que el momento flector máximo actúa sobre las ruedas en C y D.

Por lo tanto, el momento flector máximo se calcula de la siguiente manera

RC = RD = 50kN = 50×103norte

momento de flexión A Es METROA = 0

momento de flexión C Es METROC = 50×103 ×100 = 5×106 N-mm

momento de flexión D Es METROD = 50×103 × 1500 – 50 × 103 ×1400 = 5×106 N-mm = 5×106 N-mm

momento de flexión b Es METROb =0

Momento flector total (M) = WL = 50 × 103 × 100 = 5 × 106 N-mm

Supongamos d = diámetro del eje.

Sabemos que el momento flector máximo para un eje sólido es

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

5×106 = π/32×σb ×d3
= π /32 × 100 × d3
= 9,82 días3
D3 = 5 × 106 / 9,82
= 0,51 × 106
d = 79,8

Determinamos que el diámetro del semieje es de 79,8 mm, supongamos que el diámetro del eje es de 80 mm.

Ahora consideremos que el eje está sujeto tanto a par como a momento flector.

3. Cálculo del diámetro del eje basado en el momento de torsión y el momento de flexión.

Como se mencionó anteriormente, todos los ejes de transmisión están sujetos a torsión debido al torque y al momento de flexión debido a los elementos de la máquina, como los muñones de engranajes y las poleas o, en algunos casos, debido al propio peso del eje.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?
Fig: Viga en voladizo sometida a torsión y flexión simultáneas

Si el eje está sometido a momentos de flexión y torsión, se debe diseñar en base a estos dos momentos al mismo tiempo.

Se han propuesto varias teorías para explicar la falla elástica de los materiales cuando se someten a diferentes tipos de cargas combinadas.

Desde una perspectiva técnica, las dos teorías siguientes son importantes:

  1. Teoría del esfuerzo cortante máximo o teoría de Guest. Se utiliza para materiales dúctiles como el acero dulce.
  2. Teoría del estrés normal máximo o teoría de Rankine. Se utiliza para materiales frágiles como el hierro fundido.

como ya asumimos arriba
τ = esfuerzo cortante inducido debido al par de torsión, y
σb = Esfuerzo de flexión (tensión o compresión) inducido por el momento flector.

Según la teoría del esfuerzo cortante máximo.El esfuerzo cortante máximo en el eje es

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Podemos sustituir los valores de τ y σb como comentamos anteriormente, podemos obtener

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

La siguiente expresión se conoce como par de torsión equivalente y se denota por Tmi.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

El par de torsión equivalente se puede definir como el par de torsión que por sí solo produce el mismo esfuerzo cortante (τ) que el par de torsión real.


Limitando el esfuerzo cortante máximo (τmáx.) igual al esfuerzo cortante permitido (τ) para el material. Reescribamos toda la ecuación anterior.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

A partir de esta relación podemos calcular el diámetro del eje (d) a un par equivalente.

Según la teoría del estrés normal máximo.es la tensión normal máxima en el eje

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

La siguiente expresión se conoce como momento flector equivalente y se denota por Mmi

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

El momento flector equivalente se puede definir como el momento que por sí solo produce la misma tensión de tracción o compresión (σ).b) como el momento flector real.


Limitando el estrés normal máximo [σb(max)] igual a la tensión de flexión permitida (σb), reescribamos toda la ecuación anterior

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

A partir de esta relación podemos calcular el diámetro del eje (d) en un momento flector equivalente.

Para ejes huecos

En el caso de un eje hueco, las dos ecuaciones anteriores para torsión y momento flector equivalentes se pueden derivar de la siguiente manera.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Para calcular el diámetro del eje bajo momento de torsión y momento de flexión, necesitamos calcular el diámetro del eje a partir de las dos ecuaciones anteriores individualmente y se debe usar el diámetro del eje mayor para el diseño del eje.

Tomemos un problema de ejemplo y veamos cómo podemos calcular el diámetro del eje en «Par» y «Momento flector» y seleccionar el tamaño correcto del eje.

Tarea de ejemplo para calcular el diámetro del eje basándose en el momento de torsión y el momento de flexión

Un eje redondo macizo está sometido a un momento flector de 3000 Nm y a un par de 10000 Nm. El eje está hecho de acero 45 C 8 con un esfuerzo máximo de tracción de 700 MPa y un esfuerzo cortante máximo de 500 MPa. Calcule el diámetro del eje considerando un factor de seguridad de 6.

Respuesta:

datos dados
Momento flector (M) = 3000 Nm = 3 × 106 N-mm
Par (T) = 10000 Nm = 10 × 106 N-mm
tensión máxima de tracción σhacer = 700 MPa = 700 N/mm2
Esfuerzo cortante τtu = 500 MPa = 500 N/mm2
Factor de seguridad = 6

Sabemos que el esfuerzo de tracción permisible σt o σb = σhacer/ FS = 700/6 = 116,7 N/mm2

y esfuerzo cortante admisible τ = τtu /FS = 500/6 = 83,3 N/mm2

Estas son las cargas reales permitidas teniendo en cuenta el factor de seguridad.

Ahora tomemos d = diámetro del eje en mm.

Según la teoría del esfuerzo cortante máximo.La relación de momento de torsión equivalente y la sustitución de los valores dados son las siguientes.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

((3×106)2 +(10×106)2) = (π/16) × 83,3 × d3
10,44×106 = 16,36 días3
D3 = 10,44 × 106 / 16.36
D3 = 0,636 × 106
d = 86 mm

Estimamos que el diámetro del eje es de 86 mm según la teoría del esfuerzo cortante máximo. Calculemos también el diámetro del eje según la teoría de la tensión normal máxima.

Según la teoría del estrés normal máximo.La relación de momento flector equivalente y la sustitución de los valores dados son las siguientes.

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

(1/2) × [3×106 + ((3×106)2 +(10×106)2)] = (π/16) × 116,7 × d3
6,72×106 = 11,46 × re3
D 3 = 6,72 × 106 / 11.46
D 3 = 0,586 × 106
d = 83,7 mm

Teniendo en cuenta la teoría de la tensión normal máxima, obtenemos un diámetro de eje de 83,7 mm.

La mayor de las dos teorías de tensión está a 86 mm de la teoría de tensión máxima de corte.

86 mm es un valor seguro que debe tenerse en cuenta al diseñar el eje. Es mejor utilizar los valores predeterminados de la onda.

Diámetro de eje estándar para ejes de transmisión

A continuación se muestran los diámetros de eje estándar disponibles.

  1. Diámetro del eje 25 mm a 60 mm en incrementos de 5 mm (25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60)
  2. Diámetro del eje 60 mm a 110 mm con incrementos de 10 mm (60, 70, 80, 90, 100, 110)
  3. Diámetro del eje 110 mm a 140 mm en incrementos de 15 mm (110, 125, 140)
  4. Diámetro del eje de 140 mm a 500 mm con incrementos de 20 mm (140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500)

Las longitudes de eje estándar disponibles son 5 metros, 6 metros y 7 metros.

Para nuestro problema anterior, configuramos el diámetro del eje en 86 mm, por lo que el siguiente tamaño disponible es el eje de 90 mm. Necesitamos tomar el eje con un diámetro de 90 mm para diseñar el eje.

Hemos analizado cómo calcular el diámetro del eje en función del momento de torsión y flexión. Sin embargo, para calcular el diámetro del eje, se supone que estos momentos de torsión y el momento flector son constantes.

Sin embargo, en la práctica los ejes están expuestos a pares de torsión y momentos flectores fluctuantes.

Calcule el diámetro del eje bajo carga fluctuante

La carga fluctuante será un escenario real que no podremos evitar a la hora de diseñar un pozo. Por lo tanto, necesitamos calcular el diámetro del eje bajo carga fluctuante. Estas cargas fluctuantes se pueden observar en los ejes principales y en los ejes secundarios.

Para diseñar ejes como ejes principales y contraejes, se deben tener en cuenta los factores combinados de choque y fatiga al calcular el diámetro del eje.

Para un eje sometido a una combinación de flexión y torsión fluctuantes, el momento de torsión equivalente es

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

y momento flector fluctuante equivalente,

¿Cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento flector?

Dónde
kMETRO = Factor combinado de impacto y fatiga por flexión
kt = Factor combinado de choque y fatiga para torsión.

El par equivalente anterior y el momento de flexión y flexión deben equipararse con las fórmulas anteriores y pueden calcular el diámetro del eje.

La siguiente tabla muestra los valores recomendados para KMETRO y kt

tipo de carga kMETRO kt
1. Ondas estacionarias
(a) Carga aplicada gradualmente 1 1
(b) Carga aplicada repentinamente 1,5 a 2,0 1,5 a 2,0
2. Ondas giratorias
(a) Carga aplicada gradualmente o constante 1.5 1
(b) Carga aplicada repentinamente con sólo choques menores 1,5 a 2,0 1,5 a 2,0
(c) Carga aplicada repentinamente con fuertes golpes. 2,0 a 3,0 1,5 a 3,0

Diploma

Hemos analizado diferentes tipos de ejes, a saber, ejes de transmisión y ejes de máquinas. Además, se discutió cómo calcular el diámetro del eje bajo torsión y momento de flexión bajo carga fluctuante y también se resolvió un problema de ejemplo. Lista de diferentes diámetros de eje estándar para elegir. También enumera los criterios para determinar el diámetro de un eje utilizado para transmitir potencia. Háganos saber lo que piensa en la sección de comentarios a continuación.

Me gustaría que resolvieras un pequeño problema de ejemplo a continuación.

Planteamiento del problema: Se requiere un eje de acero dulce para transmitir 100 kW a 300 rpm. La longitud soportada del eje es de 3 metros. Soporta dos poleas de 1500 N cada una, colocadas a una distancia de 1 metro de los extremos. Suponiendo el valor de voltaje seguro, determine el diámetro del eje.

Déjame saber la respuesta en la sección de comentarios a continuación. Te ayudare.

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Diseño de ejes: Cálculo del diámetro del eje bajo el momento de torsión y el momento flexionante

En el artículo anterior, discutimos que a partir de un par de torsión dado, podemos calcular el diámetro del eje. Pero ¿qué sucede si el eje está sujeto a un momento de flexión y torsión al mismo tiempo? Veamos cómo podemos calcular el diámetro del eje bajo el momento de torsión y el momento flexionante.

Diseño de ejes

El diseño de los ejes depende básicamente de la resistencia, rigidez y robustez. El cálculo del diámetro del eje discutido en este artículo se basa en la resistencia del eje.

En general, los ejes se utilizan como ejes de transmisión o ejes de máquina.

Ejes de transmisión:
Los ejes de transmisión son aquellos que transmiten la potencia entre el conductor y el equipo accionado. Por lo tanto, todos estos ejes estarán sujetos a cargas de torsión.

Ejemplos de ejes de transmisión son los ejes de contador, ejes de línea, ejes superiores y todos los ejes de fábrica. Todos estos ejes pueden contener engranajes, poleas o cubos. Debido a estos elementos, los ejes también experimentan momentos de flexión.

Los ejes de máquina son partes integrales de la máquina, como el cigüeñal.

Existen tres posibles formas en que un eje puede experimentar tensiones. Estas son:

Tensión de corte debido a la torsión o par de torsión.
Tensiones de flexión (tensión o compresión) debido a las fuerzas que actúan sobre los elementos de la máquina, como engranajes, poleas, etc., así como debido al peso del propio eje.
Tensiones debidas a cargas combinadas de torsión y flexión.

Ya hemos discutido el primer caso en el artículo anterior, pero lo veremos nuevamente una vez más.

1. Cálculo del diámetro del eje bajo carga de torsión (ejes del motor)

Como sabemos, la ecuación de torsión es:

De la ecuación de torsión, podemos escribir directamente la siguiente expresión para el par de torsión:

Esta relación se puede expandir aún más de la siguiente manera mediante la sustitución del momento polar de inercia de la sección circular:

Con esta relación, podemos calcular el diámetro del eje si el eje está sujeto solo a una carga de torsión pura.

Pero ¿qué sucede si hay un momento de flexión que considerar?

Veamos cómo calcular el diámetro del eje si el eje está sometido a flexión.

2. Cálculo del diámetro del eje bajo el momento de flexión solamente (ejes del eje)

Al igual que la ecuación de torsión, tenemos una ecuación de flexión:

Donde M = Momento de flexión, I = Momento de inercia del eje, σb = Tensión de flexión, y = Distancia del punto desde el eje neutro, E = Módulo de elasticidad del material, R = Radio de curvatura.

De esta ecuación, podemos considerar la siguiente parte:

Sabemos que para un eje sólido, el momento de inercia es el siguiente:

Sustituyamos y obtengamos la relación del momento de flexión para el eje sólido:

A partir de esta relación, podemos calcular el diámetro del eje sólido (d) si tenemos la tensión de flexión permisible y el momento de flexión permitido del material del eje.

Si el eje es hueco, podemos derivar la relación de la siguiente manera:

donde k = di / do

Nuevamente, substituyendo estos valores en la ecuación de flexión principal, obtendremos la expresión final:

A partir de esta expresión, podemos calcular el diámetro exterior del eje hueco (do) si tenemos la tensión de flexión permisible y el momento de flexión permitido del material del eje.

¿Sabes dónde se utiliza este momento de flexión para calcular el diámetro del eje?

Para calcular el diámetro del eje del vagón de ferrocarril que solo estará sujeto al momento de flexión. Para calcular los diámetros de los ejes del eje de un vagón de ferrocarril u otras aplicaciones similares de ruedas, debemos utilizar este enfoque. Resolvamos un problema de ejemplo para comprender cómo calcular el diámetro del eje del eje.

Ejemplo de un problema para calcular el diámetro del eje de un vagón de ferrocarril

Un par de ruedas de un vagón de ferrocarril lleva una carga de 50 kN en cada caja de eje, actuando a una distancia de 100 mm fuera de la distancia entre ruedas. El ancho de la vía es de 1.4 m. Encuentre el diámetro del eje entre las ruedas, si la tensión no debe exceder los 100 MPa.

Respuesta:
Dado: W = 50 kN = 50 × 103 NL = 100 mm; x = 1.4 m; σb = 100 MPa = 100 N/mm2

Si consideramos la máxima tensión de flexión (σb máx) igual a la tensión de flexión permisible (σb) para el material, vamos a reescribir toda la ecuación anterior:

A partir de esta relación, podemos calcular el diámetro del eje (d) para un eje sólido.

Si el eje es hueco, podemos derivar la relación de la siguiente manera:

donde k = di / do

Nuevamente, substituyendo estos valores en la ecuación de flexión principal, obtendremos la expresión final:

A partir de esta expresión, podemos calcular el diámetro exterior del eje hueco (do) si tenemos la tensión de flexión permisible y el momento de flexión permitido del material del eje.
¿Sabes a dónde se aplica este momento de flexión para calcular el diámetro del eje?

Para calcular el diámetro del eje del vagón de ferrocarril que solo estará sujeto al momento de flexión. Para calcular los diámetros de los ejes del eje de un vagón de ferrocarril u otras aplicaciones similares de ruedas, debemos utilizar este enfoque. Resolvamos un problema de ejemplo para comprender cómo calcular el diámetro del eje del eje.

Ejemplo de un problema para calcular el diámetro del eje de un vagón de ferrocarril

Un par de ruedas de un vagón de ferrocarril lleva una carga de 50 kN en cada caja de eje, actuando a una distancia de 100 mm fuera de la distancia entre ruedas. El ancho de la vía es de 1.4 m. Encuentre el diámetro del eje entre las ruedas, si la tensión no debe exceder los 100 MPa.

Respuesta:
Dado: W = 50 kN = 50 × 103 NL = 100 mm; x = 1.4 m; σb = 100 MPa = 100 N/mm2

Si consideramos la máxima tensión de flexión (σb máx) igual a la tensión de flexión permisible (σb) para el material, vamos a reescribir toda la ecuación anterior:

A partir de esta relación, podemos calcular el diámetro del eje (d) para un eje sólido.

Si el eje es hueco, podemos derivar la relación de la siguiente manera:

donde k = di / do

Nuevamente, substituyendo estos valores en la ecuación de flexión principal, obtendremos la expresión final:

A partir de esta expresión, podemos calcular el diámetro exterior del eje hueco (do) si tenemos la tensión de flexión permisible y el momento de flexión permitido del material del eje.

Do you know where this Bending Moment is only used to calculate the shaft diameter?

To calculate the axels shaft diameter of railway wagon which will have the bending moment only. To calculate the axle shaft diameters of a railway wagon or similar wheel applications, we need to use this approach. Let us solve an example problem to understand how to calculate the axle shaft diameter.

Example problem to calculate the Axle shaft diameter of a Railway wagon
A pair of wheels of a railway wagon carries a load of 50 kN on each axle box, acting at a distance of 100 mm outside the wheelbase. The gauge of the rails is 1.4 m. Find the diameter of the axle between the wheels, if the stress is not to exceed 100 MPa.

Answer:
Given : W = 50 kN = 50 × 103 NL = 100 mm ; x = 1.4 m ; σb = 100 MPa = 100 N/mm2

A little consideration will show that the maximum bending moment acts on the wheels at C and D.

Therefore maximum bending moment calculated as follows
RC = RD = 50kN = 50×103N
Bending moment at A is MA = 0
Bending moment at  C is MC = 50×103 × 100 = 5×106 N-mm

Bending moment at D is MD = 50×103 × 1500 – 50×103 ×1400 = 5×106 N-mm = 5×106 N-mm

Bending moment at B is MB =0
Overall bending moment (M) = W.L = 50 × 103 × 100 = 5 × 106 N-mm
Let us say d = Diameter of the axle.
We know that the maximum bending moment for a solid shaft is
5 × 106 = π /32 ×σb × d3= π /32 ×100 × d3= 9.82 d3d3 = 5 × 106 / 9.82= 0.51 × 106d = 79.8

We got the axle shaft diameter as 79.8mm, let us take the shaft diameter as 80mm.

Now let us consider that the shaft will experience both the Twisting Moment and Bending Moment.
3. Calculating Shaft Diameter under Twisting Moment and Bending Moment
As we mentioned all the transmitting shafts will experience the twisting moment due to the torque and the bending moment due to the machine elements such as gears stubs, and pulleys or in some cases due to the shaft self-weight.Fig: Cantilever beam subjected to twisting and bending at the same time
If the shaft is subjected to bending and twisting moments it must be designed on the basis of these two moments simultaneously.
Various theories have been suggested to account for the elastic failure of the materials when they are subjected to various types of combined stresses.

The following two theories are important from the subject point of view :

Maximum shear stress theory or Guest’s theory. It is used for ductile materials such as mild steel.Maximum normal stress theory or Rankine’s theory. It is used for brittle materials such as cast iron.
as we have already assumed aboveτ = Shear stress induced due to twisting moment, andσb = Bending stress (tensile or compressive) induced due to bending moment.
According to maximum shear stress theory, the maximum shear stress in the shaft is

We can Substitute the values of τ and σb as we have discussed above we can get

The following expression is known as equivalent twisting moment and is denoted by Te.

The equivalent twisting moment may be defined as that twisting moment, which when acting alone, produces the same shear stress (τ) as the actual twisting moment.

By limiting the maximum shear stress (τmax) equal to the allowable shear stress (τ) for the material, Let us rewrite the whole above equation

From this relation, we can calculate the shaft diameter (d) under an equivalent twisting moment.

According to maximum normal stress theory, the maximum normal stress in the shaft will be

The following expression is known as equivalent bending moment and is denoted by Me

The equivalent bending moment may be defined as that moment which when acting alone produces the same tensile or compressive stress (σb) as the actual bending moment.

By limiting the maximum normal stress [σb(max)] equal to the allowable bending stress (σb), Let us rewrite the whole above equation

From this relation, we can calculate the shaft diameter (d) under an equivalent bending moment.

For Hallow shafts
In the case of a hollow shaft, the above two equations of equivalent twisting and bending moment can be derived as follows.

In order to calculate the shaft diameter under Twisting Moment and Bending Moment, we need to calculate the shaft diameter from the above both equations individually and the larger shaft diameter is supposed to be used for the design of the shaft.

Let us take an example problem and see how we can calculate the shaft diameter under Twisting Moment and Bending Moment and choose the right size of the shaft.

Example Problem Calculating Shaft Diameter under Twisting Moment and Bending Moment
A solid circular shaft is subjected to a bending moment of 3000N-m and a torque of 10000N-m. The shaft is made of 45 C 8 steel having ultimate tensile stress of 700MPa and ultimate shear stress of 500MPa. Taking a factor of safety as 6 into account, calculate the shaft diameter.
Answer:
Given dataBending moment (M) = 3000N-m = 3 × 106 N-mmTorque (T) = 10000 N-m = 10 × 106 N-mmultimate tensile stress σtu = 700 MPa = 700 N/mm2shear stress τu = 500 MPa = 500 N/mm2Factor of Safety = 6
We know that the allowable tensile stress, σt or σb = σtu/ F.S = 700/6 = 116.7N/mm2

and allowable shear stress τ = τu / F.S = 500/6 = 83.3N/mm2
These are the actual allowable stress after taking the factor of safety into account.

Now let us take d = Diameter of the shaft in mm.
According to maximum shear stress theory, equivalent twisting moment relation and substituting the given values are as follows.
√((3×106)2 +(10×106)2) = (π/16) × 83.3 × d310.44×106 = 16.36 d3d3 = 10.44 × 106 / 16.36d3 = 0.636 × 106d = 86 mm

We have got the shaft diameter as 86mm according to the maximum shear stress theory. Let us also calculate the shaft diameter according to the maximum normal stress theory.
According to maximum normal stress theory, equivalent bending moment relation, and substituting the given values are as follows.

(1/2) × [3×106 + √((3×106)2 +(10×106)2)] = (π/16) × 116.7 × d36.72×106 = 11.46 × d3d 3 = 6.72 × 106 / 11.46d 3 = 0.586 × 106d = 83.7 mm
by considering the maximum normal stress theory, we get the shaft diameter of 83.7mm.
The largest of the two stress theories is 86mm from the maximum shear stress theory.

86mm is a safe value to consider for designing the shaft. It is better to take the standard values of the shaft.

Standard shaft Diamters for transmission shafts
Following are the available standard shaft diameters
Shaft diameter 25mm to 60mm with 5mm steps (25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60)Shaft diameter 60mm to 110mm with 10mm steps (60, 70, 80, 90, 100,110)Shaft diameter 110mm to 140mm with 15mm steps (110, 125, 140)Shaft diameter 140mm to 500mm with 20mm steps (140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400,, 420, 440, 460, 480, 500)
The standard shaft lengths available are 5 meters, 6 meters, and 7 meters.

For our above problem, we got the shaft dia as 86mm, so the next available size is 90mm shaft. we need to take the shaft 90mm dia shaft to design the shaft.

We have discussed how to calculate the shaft diameter under the Twisting and Bending Moment. But these twisting moments and the bending moment are assumed to be constant for the sake of calculating shaft diameter.

But in actual practice, the shafts will be subjected to fluctuating torque and bending moments.
Calculate Shaft Diameter under Fluctuating Load
The Fluctuating load will be a real-life scenario that we can not avoid in designing a shaft. so we need to calculate the shaft diameter under Fluctuating Load. These kinds of fluctuating loads will be seen in the Line shafts and the Counter shafts.
In order to design such shafts like line shafts and counter shafts, the combined shock and fatigue factors must be taken into account to calculate the shaft diameter.

Thus for a shaft subjected to combined fluctuated bending and torsion, the equivalent twisting moment,
and equivalent fluctuated bending moment,

whereKm = Combined shock and fatigue factor for bendingKt = Combined shock and fatigue factor for torsion.

The above equivalent twisting moment and bending and bending moment needs to be equated with the above formulas and can calculate the shaft diameter.
The following table shows the recommended values for Km and KtNature of loadKmKt1. Stationary shafts  (a) Gradually applied load11(b) Suddenly applied load1.5 to2.01.5 to 2.02. Rotating shafts  (a) Gradually applied or steady load1.51(b) Suddenly applied load with minor shocks only1.5 to2.01.5 to 2.0(c) Suddenly applied load with heavy shocks2.0 to 3.01.5 to 3.0

Conclusion
En este artículo, hemos discutido diferentes tipos de ejes, ejes de transmisión y ejes de máquina. Y hemos discutido cómo calcular el diámetro del eje bajo el momento de torsión y el momento flexionante, con carga fluctuante y también hemos resuelto un problema de ejemplo. También se enumeran los diferentes diámetros de eje estándar para seleccionar. Además, se enumeran los criterios para decidir el diámetro de un eje utilizado en la transmisión de potencia. Haznos saber qué opinas al respecto en la sección de comentarios a continuación.

Me gustaría que resolvieras un pequeño problema de ejemplo que se detalla a continuación.

Enunciado del problema: Se requiere un eje hecho de acero dulce para transmitir 100 kW a 300 r.p.m. La longitud soportada del eje es de 3 metros. Lleva dos poleas con un peso total de 1500 N ubicadas a una distancia de 1 metro de los extremos. Suponiendo un valor seguro de resistencia, determina el diámetro del eje.

Déjame saber la respuesta en la sección de comentarios a continuación. Te ayudaré.

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