¿Alguna vez te has preguntado cómo se calculan todas las fuerzas en una armadura? Si eres alguien interesado en la ingeniería estructural y en aprender métodos de cálculo, estás en el lugar indicado. En este artículo, exploraremos cómo utilizar los métodos de corte para determinar las distintas fuerzas que actúan sobre una armadura. Desde tensiones hasta cargas axiales, descubrirás todo lo que necesitas saber para realzar tus habilidades de cálculo. ¡Prepárate para sumergirte en el fascinante mundo del análisis de armaduras y aprender a calcular todas las fuerzas que las afectan!
Una armadura es una estructura que consta de miembros o vigas esbeltas conectadas en los extremos mediante pasadores y capaces de soportar cargas en las uniones. La armadura es una estructura rígida. Se utilizan como vigas de techo para soportar tejados inclinados y como vigas de puente para soportar la plataforma. En muchas máquinas se utilizan vigas de acero. Las torres de transmisión también son ejemplos de armaduras. En las cerchas de madera, los extremos se conectan mediante conexiones adecuadas o mediante clavados y tornillos, mientras que en las cerchas de acero, los extremos se conectan mediante tornillos o soldadura. Las cerchas también se conocen como “marcos con bisagras de pasador”. Analicemos más detalles sobre las armaduras y veamos cómo podemos calcular todas las fuerzas en las armaduras.
Una armadura en la que todos los miembros se encuentran en un plano se llama armadura plana. Con este tipo de armaduras, las cargas sólo actúan al nivel de la armadura. Las armaduras de techo y de puentes pueden verse como armaduras planas.
Si no todos los miembros de un marco están en un plano, se llama marco espacial. Los trípodes y las torres de transmisión son ejemplos de armazones espaciales.
El análisis de armaduras planas se analiza a continuación.
¿Qué es una armadura perfecta?
Una armadura con uniones de pasadores que cuenta con el número justo de elementos para soportar las cargas sin sufrir deformaciones importantes se denomina armadura perfecta.
Una armadura triangular es la armadura perfecta más simple y tiene tres nodos y tres miembros, como se muestra en la siguiente figura.
En las figuras (a) y (b), respectivamente, se muestran armaduras perfectas con cuatro y cinco uniones.
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Se puede observar que para aumentar el tamaño de una junta en una armadura perfecta se requieren dos elementos más.
Por lo tanto, la siguiente expresión se puede escribir como la relación entre un número de nodos j y el número de elementos m en una armadura perfecta.
metro = 2j – 3
Sin embargo, la ecuación anterior sólo proporciona una condición necesaria, pero no suficiente, para una armadura perfecta. Por ejemplo, las dos cerchas que se muestran en las figuras (a) y (b) tienen el mismo número de elementos y conexiones.
(b) No es un rizo perfecto ya que la forma cambia bajo tensión.
La armadura que se muestra en la figura (a) es perfecta, mientras que la armadura que se muestra en la figura (b) no puede mantener su forma cuando se carga en la junta marcada con 6. Por lo tanto, la única condición necesaria y suficiente para una armadura perfecta es que conserve su forma cuando se aplica la carga en cada unión en cualquier dirección.
¿Qué es una armadura defectuosa?
Una armadura se considera defectuosa si el número de elementos que contiene es inferior a los necesarios para una armadura perfecta. Estas armaduras no pueden mantener su forma bajo carga. La siguiente ilustración muestra un truss defectuoso.
¿Qué es una armadura redundante?
Se dice que una armadura es redundante si el número de elementos que contiene es mayor que el número requerido para una armadura perfecta. Estas armaduras no pueden analizarse utilizando únicamente las ecuaciones de equilibrio.
Por tanto, una armadura redundante es estáticamente indeterminada. Cada miembro adicional añade un grado de vaguedad. Al analizar dichos componentes se debe tener en cuenta la consistencia de las deformaciones. El truss que se muestra a continuación es un truss redundante típico. Con este marco hay un elemento diagonal adicional en cada panel. Por tanto, se trata de un marco redundante de dos grados.
Para fines de análisis, consideremos la armadura perfecta y veamos cómo podemos calcular todas las fuerzas en la armadura.
Supuestos para el análisis de armaduras.
En la teoría desarrollada en este capítulo se hacen los siguientes supuestos:
(1) Los extremos de los elementos están conectados con pasadores (con bisagras)
(2) Las cargas sólo actúan sobre las juntas.
(3) Los pesos propios de los miembros son insignificantes.
(4) La sección transversal de los miembros es uniforme.
Si la sección transversal varía, se supone que el centro de gravedad de la sección está en la misma línea longitudinal.
En realidad, los elementos están conectados mediante tornillos, remaches o soldadura. No se presta especial atención a las conexiones perfectas de los pines. Sin embargo, los experimentos han demostrado que la hipótesis de extremos conectados por pasadores es bastante satisfactoria, ya que los elementos utilizados son delgados.
Naturaleza de las fuerzas en armaduras.
Los elementos de una armadura están expuestos a fuerzas de tracción o de compresión. En la siguiente figura (a) se muestra una armadura ABCDE típica con carga en el nudo E.
El elemento BC está sometido a una fuerza de compresión C, como se muestra en la figura (b) anterior. El efecto de esta fuerza sobre la articulación B (o C) es igual y opuesto a la fuerza C, como se muestra en la figura (b).
El elemento AE está sometido a una fuerza de tracción T. Su efecto sobre los compuestos A y E se muestra en la figura (b) anterior. Al analizar el marco, marcamos las fuerzas en las uniones en lugar de las fuerzas en los componentes, como se muestra en la siguiente figura.
Cabe señalar que la fuerza de compresión en un componente se representa en una figura mediante dos flechas que se alejan una de la otra y una fuerza de tracción mediante dos flechas que se acercan. Esto es bastante lógico teniendo en cuenta que las marcas en los componentes representan las fuerzas de reacción internas desarrolladas, cuya dirección es opuesta a las fuerzas aplicadas.
Métodos de análisis
Los siguientes tres métodos están disponibles para analizar marcos conectados por pasadores, los llamados trusses.
(a) Método de conexiones
(b) Método de corte
(c) Método gráfico.
En el artículo anterior, ya analizamos cómo calcular fuerzas en armaduras utilizando métodos de conexión.
Analicemos cómo podemos calcular las fuerzas en la armadura usando el método de la sección.
Cálculo de fuerzas en la armadura mediante el método de la sección.
- En el método de corte, después de determinar las reacciones, se traza una línea de corte a través de no más de tres miembros en los que se desconocen las fuerzas, de modo que el marco se corta en dos partes separadas.
- Cada parte debe estar en equilibrio bajo la acción de cargas, reacciones y fuerzas en los miembros atravesados por la línea de corte.
- Se tiene en cuenta el equilibrio de una de estas dos piezas y se determinan las fuerzas desconocidas en los componentes atravesados por la línea de corte.
- El sistema de fuerzas que actúa sobre ambas partes de la armadura representa un sistema de fuerzas no competitivas.
- Como sólo hay tres ecuaciones de equilibrio independientes, sólo debería haber tres fuerzas desconocidas.
- Por tanto, en este método es condición imprescindible que la línea de corte pase por no más de tres elementos en los que se desconocen las fuerzas y que separe el marco en dos partes.
Así, el método de la sección es la aplicación del análisis de sistemas de fuerzas no simultáneas, mientras que el método de conexiones descrito en el artículo anterior fue la aplicación del análisis de fuerzas simultáneas.
Sistema.
El método de sección es preferible al método de conexiones bajo las dos condiciones siguientes:
(1) En una gran armadura donde se requieren fuerzas en sólo unos pocos elementos
(2) En la situación en la que el método de conexión no puede iniciar/continuar el análisis
Resolvamos tres tareas de ejemplo utilizando el método de la sección. Los ejemplos 1 y 2 son los casos en los que el método de la sección es ventajoso porque sólo se requieren fuerzas en unos pocos componentes. El ejemplo 3 es el caso en el que el método de conexión no puede iniciar/continuar para obtener la solución.
En la práctica, los marcos se pueden analizar en parte mediante el método de corte y en parte mediante el método de unión, como se muestra en el Ejemplo 3. Así que echa un vistazo a los métodos de conexión si aún no lo has hecho.
Tareas de ejemplo para calcular todas las fuerzas en la armadura utilizando el método de la sección
Ejemplo 1. Determine las fuerzas en los elementos FH, HG y GI en la armadura, como se muestra en la siguiente figura. Cada carga es de 10 kN y todos los triángulos son equiláteros con una longitud de lado de 4 m.
Solución:
Por la simetria
RA =R0 = 1/2 × 10 × 7 = 35 kN
Tome la sección (A)-(A) que cruza los miembros FH, GH y GI y separa la armadura en dos partes.
Considere el equilibrio de la parte del lado izquierdo, como se muestra en la siguiente figura (prefiera la parte en la que).
varias fuerzas son menores).
ΣMGRAMO = 0, resultados
FFH × 4 sen 60° – 35 × 12 + 10 × 10 + 10 × 6 + 10 × 2 = 0
FFH = 69,2820 kN (comp.)
∑V = 0, produce
FGH sen 60° + 10 + 10 + 10 – 35 = 0
FGH = 5,7735 kN (fuerza de presión)
∑ H = 0, produce
FSOLDADO AMERICANO -FFH -FGH cos 60° = 0
FSOLDADO AMERICANO = 69,2820 + 5,7735 cos 60°
FSOLDADO AMERICANO = 72,1688 kN (tensión)
Ejemplo 2: Determine la magnitud y la naturaleza de las fuerzas en los miembros U3U4, L3L4 y U4L3 de la armadura cargada que se muestra en la Figura.
Solución:
Para determinar reacciones, considere las ecuaciones de equilibrio.
Ahora obtenemos ∑ M LO = 0
R2 × 36 – 200 × 6 – 200 × 12 – 150 × 18 – 100 × 24 – 100 × 30 = 0
R2 = 325kN
∑V = 0, produce
R1 = 200 + 200 + 150 + 100 + 100 – 325
R1 = 425kN
Tome la sección (1)-(1) y observe la parte derecha.
Ud.3Ud.4 = √(12 +62) = 6,0828
Pecado θyo = 1/6,0828 = 0,1644
porque θyo = 6/6,0828 = 0,9864
l3Ud.4 = 62 + 82 = 10
Pecado θ2 = 0,6 cos θ2 = 0,8
ΣMU4 = 0, resultados
FL3L4 × 8 – 325 × 12 + 100 × 6 = 0
FL3l4 = 412,5 kN (tensión)
ΣML3 = 0, resultados
FU4U3 × porque θ1 × 9 + 100 × 6 + 100 × 12 – 325 × 18 = 0
FU4U3 = 456,2072 kN (comp.)
∑ H = 0
FU4U3 Pecado θ2 -FU4U3 porque θ1 +FL4L3 = 0
FU4U3 = (456,2072 × 0,9864 – 412,5)/ 0,6
FU4U3 = 62,5 kN (tensión)
Ejemplo 3: Encuentre las fuerzas en los elementos (1), (2) y (3) de la armadura francesa que se muestra en la siguiente figura.
Solución:
Por razones de simetría
RA =Rb = (1/2) × 20 × 7 = 70 kN
CA = 4 × a = 9/cos 30°
∴ a = 2,5981 m
Tome la sección (A)-(A) y considere el equilibrio de la parte izquierda de la armadura francesa.
se muestra en la figura anterior.
Caiga vertical CE a AB.
CE = 9 bronceado 30°
DE = 3m
∴ tan θ = (9 tan30)/3 =3 × 1/√3 =√3
∴θ = 60°
∑ METRO A = 0, resultados
F2 sen 60° × 6 – 20 × 2,5981 cos 30° – 20 × 2 × 2,5981 cos 30° – 20 × 3 × 2,5981 cos 30° = 0
F2 = 20 × 2,5981 (1+2+3)/6
Sabemos que sen 60° = cos 30°, y como reemplazo obtenemos
F2 = 51,9615 kN (tensión)
∑V = 0, produce
F1 sen 30° – 70 + 20 + 20 + 20 – 51.9615 sen 60° = 0
F1 = 110 kN (comp.)
∑ H = 0, produce
F3 +F2 porque 60° – F1 porque 30° = 0
F3 = 69,2820 (voltaje)
Nota: Para este problema, el método de conexión no puede proporcionar una solución completa.
Diploma
Hemos discutido qué es un truss perfecto, un truss redundante y un truss defectuoso. Hemos enumerado los supuestos que hacemos al analizar la armadura y también enumeramos los tipos de fuerzas en los miembros de la armadura. Utilizando el método de la sección, calculamos con éxito todas las fuerzas en la armadura especificadas en 3 tareas de ejemplo. Háganos saber lo que piensa sobre este artículo en la sección de comentarios a continuación.
¿Qué es una armadura?
Una armadura es una estructura formada por elementos delgados o vigas conectadas mediante pasadores en los extremos y es capaz de soportar cargas en las uniones. Las armaduras son estructuras rígidas que se utilizan como vigas en techos para soportar cubiertas inclinadas y como vigas en puentes para soportar la plataforma. También se utilizan armaduras de acero en muchas máquinas y torres de transmisión. En el caso de las armaduras de madera, los extremos se conectan mediante uniones adecuadas, clavos o pernos, mientras que en las armaduras de acero, los extremos se conectan mediante pernos o soldadura. Las armaduras también se conocen como «marcos articulados con pasadores».
Armaduras en un plano y armaduras en espacio
Una armadura en la que todos los elementos se encuentran en un solo plano se llama armadura en un plano. En este tipo de armaduras, las cargas actúan únicamente en el plano de la armadura. Las armaduras de techo y las armaduras de puente se pueden considerar armaduras en un plano.
Si los elementos de una armadura no se encuentran todos en un mismo plano, se le llama armadura en espacio. Ejemplos de armaduras en espacio son los trípodes y las torres de transmisión.
¿Qué es una armadura perfecta?
Se considera una armadura perfecta a aquella armadura con la cantidad justa de elementos para resistir las cargas sin deformarse apreciablemente en su forma. Una armadura triangular de tres uniones y tres elementos es la armadura perfecta más sencilla.
Para aumentar una unión en una armadura perfecta, se requieren dos elementos más. Por lo tanto, la relación entre el número de uniones j y el número de elementos m en una armadura perfecta se puede expresar con la siguiente fórmula:
m = 2j – 3
Sin embargo, esta fórmula solo proporciona una condición necesaria pero no suficiente para una armadura perfecta. Por ejemplo, las dos armaduras mostradas en las figuras (a) y (b) tienen el mismo número de elementos y uniones. La armadura en la figura (a) es perfecta, mientras que la de la figura (b) no puede mantener su forma si se carga en la unión marcada como 6. Por lo tanto, la única condición necesaria y suficiente para una armadura perfecta es que mantenga su forma cuando se le aplica carga en cualquier unión y en cualquier dirección.
¿Qué es una armadura deficiente?
Una armadura se considera deficiente si el número de elementos en ella es menor al requerido para una armadura perfecta. Estas armaduras no pueden mantener su forma cuando están cargadas.
¿Qué es una armadura redundante?
Una armadura se considera redundante si el número de elementos en ella es mayor al requerido para una armadura perfecta. Estas armaduras no pueden analizarse únicamente mediante las ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto, una armadura redundante es estáticamente indeterminada. Cada elemento adicional añade un grado de indeterminación. Para analizar estos elementos, se debe tener en cuenta la consistencia de las deformaciones. La armadura mostrada a continuación es un ejemplo típico de armadura redundante. En esta armadura, en cada panel hay un elemento diagonal extra, por lo que es una armadura redundante de dos grados.
Factores a considerar en el análisis de una armadura
Al analizar una armadura, se hacen las siguientes suposiciones:
- Los extremos de los elementos están conectados mediante uniones articuladas.
- Las cargas actúan solo en las uniones.
- El peso propio de los elementos es despreciable.
- La sección transversal de los elementos es uniforme. En caso de que varíe, se asume que el centro de gravedad de la sección se encuentra en la misma línea longitudinal.
En la realidad, los elementos están conectados mediante pernos, remaches o soldadura. Sin embargo, los experimentos han demostrado que asumir uniones articuladas es bastante satisfactorio, ya que los elementos utilizados son delgados.
Naturaleza de las fuerzas en los elementos de una armadura
Los elementos de una armadura están sujetos a fuerzas de tensión o compresión. En una armadura típica ABCDE cargada en la unión E, el elemento BC está sujeto a una fuerza de compresión C, mientras que el elemento AE está sujeto a una fuerza de tensión T.
Métodos de análisis de armaduras
Existen tres métodos disponibles para el análisis de armaduras, que son:
- Método de las uniones
- Método de las secciones
- Método gráfico
En este artículo, nos enfocaremos en el método de las secciones para calcular todas las fuerzas en una armadura.
Calculando las fuerzas en una armadura mediante el método de las secciones
En el método de las secciones, después de determinar las reacciones, se traza una línea de sección que atraviesa como máximo tres elementos en los cuales las fuerzas son desconocidas y divide la armadura en dos partes separadas. Cada parte debe estar en equilibrio bajo la acción de las cargas, las reacciones y las fuerzas en los elementos que son cortados por la línea de sección. Se considera el equilibrio de una de estas dos partes y se determinan las fuerzas desconocidas en los elementos cortados por la línea de sección. El sistema de fuerzas que actúa en cada parte de la armadura constituye un sistema de fuerzas no concurrente. Dado que solo hay tres ecuaciones de equilibrio independientes, solo puede haber tres fuerzas desconocidas en este método. Por lo tanto, en este método, es una condición esencial que la línea de sección no atraviese más de tres elementos en los cuales las fuerzas son desconocidas y que divida la armadura en dos partes.
El método de las secciones es preferido sobre el método de las uniones en dos condiciones: cuando se requieren fuerzas solo en algunos elementos de una armadura grande y cuando el método de las uniones no puede comenzar o continuar el análisis.
A continuación, resolveremos tres problemas de ejemplo utilizando el método de las secciones.
Ejemplo 1
Determina las fuerzas en los elementos FH, HG y GI de la armadura mostrada en la figura. Cada carga es de 10 kN y todos los triángulos son equiláteros con lados de 4 m.
Solución:
Debido a la simetría:
RA = R0 = 1/2 × 10 × 7 = 35 kN
Tomamos una sección (A)-(A), que atraviesa los elementos FH, GH y GI y divide la armadura en dos partes.
Consideramos el equilibrio de la parte izquierda de la armadura, como se muestra en la figura a continuación (preferimos la parte en la que hay menos fuerzas):
ΣMG = 0, nos da FFH × 4 sin 60° – 35 × 12 + 10 × 10 + 10 × 6 + 10 × 2 = 0
FFH = 69.2820 kN (Compresión)
∑V = 0, nos da FGH sin 60° + 10 + 10 + 10 – 35 = 0
FGH = 5.7735 kN (Compresión)
∑ H = 0, nos da FGI – FFH – FGH cos 60° = 0
FGI = 69.2820 + 5.7735 cos 60°
FGI = 72.1688 kN (Tensión)
Ejemplo 2
Encuentra la magnitud y naturaleza de las fuerzas en los elementos U3U4, L3L4 y U4L3 de la armadura cargada que se muestra en la figura.
Solución:
Para determinar las reacciones, consideramos las ecuaciones de equilibrio.
∑ M LO = 0, nos da R2 × 36 – 200 × 6 – 200 × 12 – 150 × 18 – 100 × 24 – 100 × 30 = 0
R2 = 325 kN
∑V = 0, nos da R1 = 200 + 200 + 150 + 100 + 100 – 325
R1 = 425 kN
Tomamos la sección (1)-(1) y consideramos la parte derecha de la armadura.
U3U4 = √(12 + 62) = 6.0828
sin θl = 1/6.0828 = 0.1644
cos θl = 6 /6.0828 = 0.9864
L3U4 = √(62 + 82) = 10
sin θ2 = 0.6
cos θ2 = 0.8
Σ MU4 = 0, nos da FL3L4 × 8 – 325 × 12 + 100 × 6 = 0
FL3L4 = 412.5 kN (Tensión)
Σ ML3 = 0, nos da FU4U3 × cos θ1 × 9 + 100 × 6 + 100 × 12 – 325 × 18 = 0
FU4U3 = 456.2072 kN (Compresión)
∑ H = 0, nos da FU4U3 sin θ2 – FU4U3 cos θ1 + FL4L3 = 0
FU4U3 = (456.2072 × 0.9864 – 412.5) / 0.6
FU4U3 = 62.5 kN (Tensión)
Ejemplo 3
Encuentra las fuerzas en los elementos (1), (2) y (3) de la armadura francesa mostrada en la figura.
Solución:
Debido a la simetría:
RA = RB = (1/2) × 20 × 7 = 70 kN
AC = 4 × a = 9/cos 30°
Por lo tanto, a = 2.5981 m
Tomamos una sección (A)-(A) y consideramos el equilibrio de la parte izquierda de la armadura francesa, como se muestra en la figura:
CE = 9 tan 30°
DE = 3 m
∴ tan θ = (9 tan30)/3 = 3 × 1/√3 =√3
∴ θ = 60°
Σ M A = 0, nos da F2 sin 60° × 6 – 20 × 2.5981 cos 30° – 20 × 2 × 2.5981 cos 30° – 20 × 3 × 2.5981 cos 30° = 0
F2 = 20 × 2.5981 (1+2+3)/6
Usamos que sin 60° = cos 30° y sustituimos:
F2 = 51.9615 kN (Tensión)
∑V = 0, nos da F1 sin 30° – 70 + 20 + 20 + 20 – 51.9615 sin 60° = 0
F1 = 110 kN (Compresión)
∑ H = 0, nos da F3 + F2 cos 60° – F1 cos 30° = 0
F3 = 69.2820 (Tensión)
Nota: En este problema, el método de las uniones no puede dar una solución completa.
Conclusión
Hemos discutido qué es una armadura perfecta, una armadura redundante y una armadura deficiente. Hemos enumerado las suposiciones que hacemos para analizar una armadura y los tipos de fuerzas presentes en sus elementos. También hemos calculado todas las fuerzas en la armadura en los tres problemas de ejemplo utilizando el método de las secciones. Si tienes alguna pregunta o comentario, déjalo en la sección de comentarios a continuación.