Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

¿Sabías que todos los objetos tienen una frecuencia natural de vibración? Las vibraciones longitudinales libres son un fenómeno fascinante que puede encontrarse en diversos contextos, desde la física y la ingeniería hasta la música y el arte. En este artículo, exploraremos qué son exactamente las vibraciones longitudinales libres y cómo se relacionan con la frecuencia natural de los objetos. Así que prepárate para sumergirte en el mundo de las vibraciones y descubrir cómo afectan nuestra vida cotidiana. ¡Comencemos!

En el artículo anterior hablamos de diferentes tipos de vibraciones libres (longitudinales, transversales y torsionales). En este artículo discutiremos la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres.


Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

La frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres se puede determinar mediante los siguientes métodos.


  1. Método de equilibrio
  2. Método energético
  3. El método de Rayleigh.

Método de equilibrio

Consideremos un resorte con una masa en posición descargada, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que la masa del resorte es despreciable.

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.
  • S = Rigidez de la restricción. Esta es la fuerza necesaria para hacer que la unidad se mueva en la dirección de la vibración. Generalmente se expresa en N/m.
  • METRO = masa del cuerpo suspendido de la restricción en kg,
  • W. = Peso del cuerpo en Newtons = mg
  • δ = Deflexión estática del resorte en metros debido al peso W Newton

Ahora veamos que el cuerpo está en la posición de equilibrio, la fuerza de atracción W = mg está equilibrada por una fuerza de resorte.


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de modo que W = s.δ

Démosle a la masa m un desplazamiento de la distancia x desde su posición de equilibrio. Esto se muestra en la siguiente figura.


Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

La fuerza restauradora será

2. Reloj comparador | Indicador de cuadrante: Funciona…

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=Ws(δ+ x)

=W-sδ-sx

= – sx ( ∵ W = s. δ)

Considere la fuerza hacia arriba como negativa

Fuerza de aceleración = masa × aceleración

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Considere la fuerza hacia abajo como positiva.

De las dos ecuaciones anteriores, el movimiento del cuerpo de masa m después del tiempo t resulta de

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

El movimiento armónico simple del cuerpo resulta de la ecuación básica


Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones similares, obtenemos el resultado

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

∴ Periodo

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

La frecuencia natural

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

donde mg = s δ

Sabíamos que el valor de g es 9,81 m/s2 y δ en metros,

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Donde δ es la deflexión estática (expansión o compresión de la restricción)

Esto se puede determinar a partir de las siguientes ecuaciones

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Dónde

  • W. = Carga unida al extremo libre del límite
  • yo = duración de la restricción
  • mi = Módulo de Young para la restricción
  • A = área de la sección transversal de la restricción

Método energético

En las oscilaciones libres, no se transfiere energía hacia o desde el sistema, por lo que la suma total de la energía cinética y la energía potencial del sistema debe ser una cantidad constante que sea la misma en todo momento.

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Conocíamos la energía cinética o la energía potencial,

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Ahora podemos sustituir estas dos ecuaciones en la ecuación anterior.


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El movimiento armónico simple del cuerpo resulta de la ecuación básica

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Entonces si igualamos estas dos ecuaciones similares, obtenemos el resultado

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∴ Periodo

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La frecuencia natural

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donde mg = s δ

Sabíamos que el valor de g es 9,81 m/s2 y δ en metros,

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Donde δ es la deflexión estática (expansión o compresión de la restricción)

Esto se puede determinar a partir de las siguientes ecuaciones

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Dónde

  • W. = Carga unida al extremo libre del límite
  • yo = duración de la restricción
  • mi = Módulo de Young para la restricción
  • A = área de la sección transversal de la restricción

El método de Rayleigh.

La energía cinética máxima en la posición media es igual a la energía potencial máxima o también se denomina energía de deformación en la posición extrema.

Suponiendo que el movimiento causado por la vibración es simplemente armónico,

X = X pecado ω.t

Dónde

  • X = desplazamiento del cuerpo desde la posición media después del tiempo t segundos,
  • X = Desplazamiento máximo desde la posición media a una posición extrema

Diferenciando la ecuación X = X pecado ω.ta ambos lados,

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

Dado que t = 0 en la posición media, la velocidad en la posición media es máxima

Frecuencia natural de vibraciones longitudinales libres.

La energía cinética máxima en la posición media.

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También la energía potencial máxima en la posición extrema.

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Como se dijo, la energía cinética máxima en la posición media es igual a la energía potencial máxima o también llamada energía de deformación en la posición extrema. Igualando las dos ecuaciones anteriores,

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∴ Periodo

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La frecuencia natural

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donde mg = s δ

Sabíamos que el valor de g es 9,81 m/s2 y δ en metros,

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Donde δ es la deflexión estática (expansión o compresión de la restricción)

Diploma

Derivamos la ecuación para encontrar la frecuencia natural de las vibraciones libres longitudinales utilizando tres métodos diferentes: el método del equilibrio, el método de la energía y el método de Rayleigh. Si tiene alguna otra idea sobre este tema, háganoslo saber en la sección de comentarios a continuación.

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La Frecuencia Natural de las Vibraciones Longitudinales Libres

En el artículo anterior hemos discutido los diferentes tipos de vibraciones libres (longitudinales, transversales, torsionales). En este artículo vamos a hablar de la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres.

Método de Equilibrio

Consideremos un resorte con una masa en una posición no deformada, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que la masa del resorte es insignificante.

s = Rigidez de la restricción. Es la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en la dirección de la vibración. Por lo general, se expresa en N/m.

m = Masa del cuerpo suspendido de la restricción en kg,

W = Peso del cuerpo en newtons = m.g

δ = Deformación estática del resorte en metros debido al peso W en newtons

Ahora, cuando el cuerpo está en posición de equilibrio, la fuerza gravitatoria W = m.g, se equilibra con una fuerza del resorte, de manera que W = s. δ

Si le damos un desplazamiento a la masa m por una distancia x desde su posición de equilibrio, obtendremos una fuerza de restauración:

Fuerza de restauración = W – s(δ + x) = W – sδ – sx = -s.x (ya que W = s. δ)

Tomando la fuerza hacia arriba como negativa y la fuerza hacia abajo como positiva, podemos establecer la ecuación de movimiento del cuerpo de masa m después de un tiempo t:

m.a = -s.x, donde a es la aceleración.

La ecuación del movimiento del cuerpo puede reescribirse como:

x» + (s/m).x = 0

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, y es la ecuación característica de un movimiento armónico simple. Por lo tanto, podemos deducir que la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres está dada por:

f = (1 / 2π) * sqrt(s/m)

Donde g es la aceleración debido a la gravedad (9.81 m/s²) y δ es la deformación estática (extensión o comprensión de la restricción).

Método de Energía

En las vibraciones libres, no se transfiere energía al sistema ni desde el sistema, por lo que la suma total de la energía cinética y la energía potencial del sistema debe ser una cantidad constante en todo momento.

La energía cinética y la energía potencial están dadas por:

En este caso, si sustituimos estas dos ecuaciones en la ecuación anterior, obtendremos:

f = (1 / 2π) * sqrt(s/m)

Donde g es la aceleración debido a la gravedad (9.81 m/s²) y δ es la deformación estática (extensión o comprensión de la restricción).

Método de Rayleigh

En este método, asumimos que el movimiento ejecutado por la vibración es simple armónico, y consideramos la ecuación x = X sin ω.t, donde x es el desplazamiento del cuerpo desde la posición media después de un tiempo t segundos y X es el desplazamiento máximo desde la posición media hasta una posición extrema.

Si diferenciamos la ecuación x = X sin ω.t, obtendremos:

Dado que en la posición media, t = 0, la velocidad máxima en la posición media es:

Vmax = Xω

La energía cinética máxima en la posición media es:

Tmax = 0.5 * m * Vmax² = 0.5 * m * (Xω)²

La energía potencial máxima en la posición extrema es:

Umax = 0.5 * s * X²

Ya que dijimos que la energía cinética máxima en la posición media es igual a la energía potencial máxima en la posición extrema. Igualando estas dos ecuaciones, obtendremos:

f = (1 / 2π) * sqrt(s/m)

Donde g es la aceleración debido a la gravedad (9.81 m/s²) y δ es la deformación estática (extensión o comprensión de la restricción).

Conclusión

Hemos derivado la ecuación para encontrar la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres utilizando tres métodos diferentes: el método de equilibrio, el método de energía y el método de Rayleigh. Si tienes alguna idea adicional sobre este tema, déjala en la sección de comentarios a continuación.

Preguntas Frecuentes:

  1. ¿Qué son las vibraciones libres?
  2. ¿Cómo se determina la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres?
  3. ¿Cuáles son los métodos utilizados para calcular la frecuencia natural de las vibraciones longitudinales libres?
  4. ¿Por qué es importante conocer la frecuencia natural de las vibraciones?

Referencias:

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